【統計検定2級】分散

分散

分散は、データのバラツキ具合を表現する統計量です。
データが、平均値から遠くまで散らばっているほど大きな値となります。

後述の計算式からも分かるとおり、分散の単位は、元の単位の2乗になります。
単位が変わると分かりづらいので、データの要約の際は、分散をルートした標準偏差の方がよく使われます。

分散の式は2パターンあります。

実際にデータを扱う際、サンプルサイズ（n）が大きい場合は結果への影響は少ないですが、統計検定を受ける場合など、学問として学ぶ場合は意識しましょう。

分母がnの分散です。目の前にあるデータにのみ興味があり、データの要約をしたい時には、こちらの分散（標本分散）の式を用います。

例えば、あたたが注目している5人の身長を把握できました。この5人の身長について、散らばりを把握する場合が該当します。

それでは、計算ステップを確認していきます。全部で4ステップです。

　①　データの平均値を算出する。
(170+165+180+160+175)/5=170

　②　各データの値から、①で求めた平均値を引いて2乗する。
(170-170)^2=0、(165-170)^2=25、(180-170)^2=100、(160-170)^2=100、(175-170)^2=25

　③　全部のデータで②の処理を行い、全て足し合わせる。
0+25+100+100+25=250

　④　③で得た値をデータの数で割る。
250/5=50 (cm^2)

分散は、50 (cm^2)となりました。単位は、元のcmの2乗になります。

分母が(n-1)の分散です。目の前にあるデータ（標本）から、全体の分散（母分散）を推測したい時に用います。

例えば、とある学年からランダムに5人の生徒の身長を把握できました。
この5人の身長から、学年全体の身長の分散（母分散）を推測する場合が該当します。

計算の流れは前項と同じですが、最後に(データの数-1)で割るところが異なります。

　①　データの平均値を算出する。
　②　各データの値から、①で求めた平均値を引いて2乗する。
　③　全部のデータで②の処理を行い、全て足し合わせる。
　④　③で得た値を(データの数-1)で割る。

母集団の推定量には、「一致性」と「不偏性」という2つの判断基準が存在ます。

・一致性：サンプルサイズ（n）が大きい時に真の値に近づく性質
・不偏性：推定量の期待値が真の値である性質

2パターンの分散についての判定は、以下のとおりです。

・分散：一致性あり・不偏性なし（母分散の一致推定量）
・不偏分散：一致性あり・不偏性あり（母分散の一致推定量＆不偏推定量）

この事より、推定量を求める場合は、不偏分散が適しています。

分散は、データのバラツキ具合を表現する統計量で、単位は元の単位の2乗になります。

計算時の分母は、算出された値の利用方法により異なります。
分母n　：データを要約したい。（記述統計）
分母n-1：データから全体の分散を推測したい。（推測統計）