【統計検定2級】正規分布

正規分布

正規分布は、最も一般的な確率分布で、多くの統計手法の前提ともなる重要な分布です。様々な場面で目にするので、統計学を学ぶ上で、避けては通れない分布と言えます。

また、実際のデータでも正規分布に従うものが多くあるので、実用的でもあります。

正規分布の外観は、次のようになります。

正規分布は、平均値を中心に左右対称の分布です。中心の平均値付近の頻度が高く、そこから離れるにつれて、徐々に頻度は減少します。

また、正規分布の確率密度関数は、次の通りです。

データの値を除き、σ^2（分散）とμ（平均値）以外は定数ですので、分散と平均値が決まれば、正規分布の形も決まります。

また、「N (μ, σ^2)」と表記します。（Nは、正規分布の英語「normal distribution」から）

正規分布に従うと言われるデータには、例えば次のようなものがあります。

・同年代の身長
・あなたの平日の睡眠時間
・ある製品のサイズ
・ある製品の耐久年数

おおよその平均値のイメージがついて、そこに誤差（個体差）があるものは、正規分布に従っていると考えて大きな間違いはないでしょう。

また、次のものは「中心極限定理」に従い、正規分布となることが分かっています。

・サンプルの平均値

前述のとおり、正規分布の形状を決定する因子は、σ^2（分散）とμ（平均値）です。
それぞれが、分布の形状に与える影響について、見ていきましょう。

平均値が変わる時、分布の形はそのままに、位置が左右にスライドします。
正規分布は平均値がピークとなる分布ですので、平均値が増減するとピークの位置も連動します。

分散が変わる時、位置はそのままに、分布の形（とがり具合）が変わります。

そもそも分散というのは、平均値からの散らばり具合を表す統計量です。
この値が小さくなると、より平均値周辺にデータが集まり、値が大きくなると、より平均値から離れたところでデータがみられるようになります。

分散の定義そのままなので、分布の挙動もイメージしやすいでしょう。

データが正規分布に従う場合、次のことが言えます。

・平均値±σの範囲に、データ全体の約68%含まれる。
・平均値±2σの範囲に、データ全体の約95%含まれる。
・平均値±3σの範囲に、データ全体の約99%含まれる。

一般的に、平均値±2σの範囲を超えるデータについては、かなり珍しいデータとされています。
これは、データ全体の約5%しか該当しないため、感覚的にも珍しいと感じると思います。

標準偏差について確認したい方は、以下の記事を参考にしてください。

なお、テストの成績ではおなじみの「偏差値」は、平均値±σの考え方がベースとなっています。
偏差値は、平均値を50として、σ1個平均値から離れるごとに偏差値が10変動します。

・平均値から標準偏差0.5個分高い成績なら、偏差値=55
・平均値から標準偏差1個分高い成績なら、偏差値=60
・平均値から標準偏差1個分低い成績なら、偏差値=40

このことより、偏差値からは、受検者全体における自分の立ち位置が見えてきます。

・70以上：非常に良い成績（全体の上位2.3%以内）
・60以上：割りと良い成績（全体の上位15.9%以内）
・50周辺：普通の成績
・40以下：割りと悪い成績（全体の下位15.9%以内）
・30以下：非常に悪い成績（全体の下位2.3%以内）

正規分布N (μ, σ^2)に従う標本について、その標本平均は、N (μ, (σ/√n)^2)に従います。書き直すと、N (μ, (σ^2)/n)です。

統計検定2級の練習問題にも出題されていたので、受検する場合は覚えておきましょう。

正規分布は、平均値を中心に左右対称の分布です。分布のピークは平均値で、そこから離れるにつれて徐々に頻度は減少します。

正規分布の形状を決定する因子は、σ^2（分散）とμ（平均値）です。
平均値が変わると分布の位置が左右にスライドし、分散が変わると分布の形（とがり具合）が変わります。

また、データが正規分布に従う場合、次のことが言えます。
・平均値±σの範囲に、データ全体の約68%含まれる。
・平均値±2σの範囲に、データ全体の約95%含まれる。
・平均値±3σの範囲に、データ全体の約99%含まれる。